Tema 10: Clasificación de conjuntos. Representación
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¿Qué es un conjunto?
Para que puedas entender el maravilloso mundo de las matemáticas, deberás empezar desde lo más básico, el principio de todo: Los conjuntos.
Antes de que el hombre entendiera el concepto de número, debió comprender de dónde salían y qué representaban. Por lo tanto, la idea de número sigue a la comprensión de los conjuntos. ¿Has coleccionado fichas, juguetes o láminas para un álbum? Imagina que los conjuntos son exactamente eso, una colección de objetos que pueden clasificarse gracias a las características que tienen común (fichas, láminas, etc).
Representación gráfica de los conjuntos, diagramas de Venn
Por ejemplo, si el conjunto AA está conformado por los elementos 11, 22 y 33 podemos representarlo como se muestra en la figura.
Si dos o más conjuntos comparten elementos también es posible usar diagramas de Venn para representar esa situación.
Notación para describir y definir conjuntos
Se usan los corchetes {}{} para representar y definir conjuntos. En el interior de los corchetes se ubican los elementos que conforman el conjunto separados por comas. Esta representación escrita es equivalente a la representación gráfica de diagramas de Venn.
Si por ejemplo se quiere definir el conjunto FF como el conformado por los elementos 1,1, p,p, z,z, y 33 se puede representar de las siguientes formas:
Descripción de conjuntos por extensión
Para describir los elementos de un determinado conjunto los puedes mencionar uno a uno, a esto se conoce como descripción por extensión. Definamos QQ como el conjunto conformado por los colores del arco iris, en este caso podemos describir el conjunto QQ por extensión así:
Q={rojo,naranja,amarillo,verde,azul,´ındigo,violeta}Q={rojo,naranja,amarillo,verde,azul,ı´ndigo,violeta}
Si un conjunto tiene muchos elementos puedes hacer uso de los puntos suspensivos para describir el conjunto por extensión. Si el conjunto WW está conformado por los cien primeros números, puedes representarlo de la siguiente manera:
W={1,2,3,… ,98,99,100}W={1,2,3,… ,98,99,100}
En este caso no se muestran los cien elementos que conforman el conjunto. Sin embargo, los puntos suspensivos representan todos los elementos que, por comodidad, no hemos escrito.
Descripción de conjuntos por comprensión
C={x|x es un pa´ıs}C={x|x es un paı´s}
En donde la barra | se lee como “tales que”. Así, la anterior expresión se lee: “CC es el conjunto de los xx, tales que xx es un país”. En este caso el símbolo xx es usado simplemente para representar los elementos del conjunto CC.
Conectivos
En algunas ocasiones los elementos que conforman un conjunto deben satisfacer más de una condición, o una de varias. En tales casos se usan los conectivos disyunción y conjunción.
La disyunción
Observa el siguiente ejemplo: Sea A={a|a es un animal mam´ıfero volador}.A={a|a es un animal mamı´fero volador}. En esta ocasión hay dos condiciones para los animales que conforman el conjunto A:A: ser mamífero o volar. La disyunción es la letra “o” que las conecta y esta significa que los elementos que conformen el conjunto deben satisfacer alguna de las dos condiciones o ambas.
Para este caso, por ejemplo, la abeja cumple la condición de volar, por lo que debe pertenecer al conjunto. El gato por su parte cumple la condición de ser mamífero, por lo que también debe pertenecer a A.A. El murciélago cumple las dos condiciones, ya que es un mamífero que vuela, así que también pertenece a A.A.
La conjunción
Definamos el conjunto PP así: sea P={p|p es un n´umero mayor que cero y menor que cero}P={p|p es un nu´mero mayor que cero y menor que cero} En este caso también hay dos condiciones pero están unidas por la conjunción “y”. Esto significa que los elementos que pertenezcan al conjunto deben cumplir las dos condiciones simultáneamente.
Como no hay números que satisfagan las dos condiciones a la vez, se concluye que el conjunto PP no tiene elementos.
También es posible combinar los anteriores conectivos para establecer las condiciones que deben cumplir los elementos de un determinado conjunto. Por ejemplo: sea K={k|k es un n´umero mayor o igual que 4 y menor que 8}.K={k|k es un nu´mero mayor o igual que 4 y menor que 8}.
Como te puedes dar cuenta, en la definición de los elementos del conjunto KK hay dos condiciones: “ser mayor o igual que 4” y “ser menor que 8”, como estas condiciones están unidas por un “y” se deben cumplir ambas. Entre tanto la condición “ser mayor o igual que 4” esta compuesta por dos condiciones unidas por una disyunción, lo que significa que la cumplirán los números que sean mayores que 44 o iguales a 4.4.
En el siguiente diagrama de Venn puedes ver la representación de los anteriores conjuntos KK y P,P, y el conjunto L={l|l es mayor o igual que 1 y menor que 5}:L={l|l es mayor o igual que 1 y menor que 5}:
Clases de conjuntos
Conjunto Universal
Con el ánimo de evitar confusiones, cuando definimos un conjunto debemos especificar de donde se están tomando los elementos que lo conforman. Esto significa que debe existir una base de la cual tomamos los elementos, esta base sobre el cual trabajamos es llamada conjunto universal. Usaremos siempre la letra UU para representar el conjunto universal.
Por ejemplo, si quieres definir BB como el conjunto conformado por las vocales aa e i,i, el conjunto universal podría ser el conjunto de las vocales. En la figura anterior se muestra cómo puedes usar los diagramas de Venn para representar la relación entre el conjunto BB y su conjunto universal U.U.
Observa que el conjunto universal puede tener exactamente los elementos de los conjuntos que abarca o más.
También, haciendo uso de la descripción por extensión, representamos el conjunto vacío por medio de los corchetes {}. Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes.
Conjuntos unitarios
Conjuntos finitos
Por ejemplo, el conjunto de las letras del idioma castellano es finito porque en total son 27 letras. En la imagen de la derecha se muestran otros conjuntos finitos. Te puedes dar cuenta que los conjuntos unitarios también son finitos.
Conjuntos infinitos
También existe una manera de representar algunos conjuntos infinitos por extensión. Basta exhibir los primeros elementos del conjunto e indicar con puntos suspensivos que la lista continua indefinidamente. En el caso del conjunto TT, definido en el párrafo anterior y conformado por los números que terminan en tres, se tiene T={3,13,23,33,43,53,…}T={3,13,23,33,43,53,…}.
Conjuntos coordinables o equipotentes
Conjuntos Coordinables o equipotentes
Relaciones uno a uno
- Cada elemento del conjunto AA debe estar relacionado con un único elemento del conjunto BB.
- Cada elemento del conjunto BB debe estar relacionado con un único elemento del conjunto AA.
Si una relación entre conjuntos cumple estas condiciones es llamada relación uno a uno. En la imagen anterior por ejemplo cada invitado está relacionado con una única copa, y cada copa está relacionada con un único invitado.
Cuando es posible establecer una relación uno a uno entre los conjuntos AA y BB, decimos que AA es coordinable con BB o que AA es equipotente a BB. En caso contrario decimos que no son coordinables o que no son equipotentes.
Como te puedes dar cuenta, la primera condición no se cumplió, pues cada elemento del conjunto invitados debe estar relacionado con un único elemento del conjunto copas. En este caso eso no cierto, ya que existe una persona que no está relacionada con ninguna copa. Los conjuntos no son coordinables ahora.
Si tratamos de arreglar las cosas relacionando la persona que acaba de llegar con unas de las copas obtendremos la siguiente relación.
Nota que ahora la condición que no se cumple es la segunda, ya que cada elemento del conjunto copas, debe estar relacionado con un único elemento del conjunto invitados y en este caso eso no es cierto, pues hay una copa que está relacionada con dos personas.
Relaciones entre conjuntos y elementos
Relación de pertenencia
Como has visto, es posible representar gráficamente la relación de pertenencia por medio de diagramas de Venn dibujando el elemento dentro de un circulo que representa el conjunto. Ahora aprenderás a representar esta relación por medio de símbolos matemáticos.
En el ejemplo de abajo puedes ver el conjunto unitario EE, el cual está conformado por el elemento 11. Los símbolos del lado derecho representan de forma escrita lo mismo que el diagrama de Venn.
La expresión 1∈E1∈E debe ser leída como “11 pertenece a EE” o “11 está en EE”. Puedes apreciar también que aa no está en el conjunto EE, la expresión a∉Ea∉E debe leerse como “aa no pertenece a EE” o “aa no está en EE”.
Relación de contenencia
Relación de contenencia y subconjuntos
Como te puedes dar cuenta, cada elemento que pertenece al conjunto GG, pertenece también al conjunto FF. Cuando se da esta situación decimos que un conjunto estácontenido en el otro, o que es un subconjunto del otro.
En este caso GG está contenido en FF, o lo que es igual, GG es subconjunto de FF.
Se usa el símbolo que se muestra en la figura de la izquierda como el símbolo de la contenencia. Si queremos representar la no contenencia de conjuntos usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea como se muestra en la figura de la derecha.
Definamos los conjuntos H={a,c,e}H={a,c,e}, I={a,e}I={a,e} y J={c,e,h}J={c,e,h}. ¿Crees que existe alguna relación de contenencia entre estos conjuntos?
Relación de igualdad
¿Consideras que los conjuntos KK y LL son iguales? Antes de contestar esta pregunta necesitas tener criterios para poder responder adecuadamente.
Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Una forma práctica de establecer si dos conjuntos son iguales es determinar si se contienen el uno al otro.
¿Es cierto que cada elemento de KK está en LL, y que cada elemento de LL está en KK? Como puedes ver la respuesta a esta pregunta es afirmativa, decimos entonces que KKes igual a LL y lo notamos así: K=LK=L.
Fíjate que no importó que algunos elementos estuvieran repetidos, o en que orden estuvieran presentados los elementos. Resultaría igual escribir por ejemplo {p,q,r,q,s,r,p}{p,q,r,q,s,r,p} que {r,s,p,q}{r,s,p,q} o que {p,r,q,s}{p,r,q,s}, es decir: {p,q,r,q,s,r,p}={r,s,p,q}={p,r,q,s}{p,q,r,q,s,r,p}={r,s,p,q}={p,r,q,s}.
Si se da el caso que dos conjuntos no son iguales usamos el símbolo≠≠. De esta manera la expresión A≠BA≠B debe ser leída como “AAes diferente aBB”, o “AA y BBno son iguales”.
Operaciones entre conjuntos
Unión de conjuntos
Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos MM y NN, debes preguntarte cuáles están en el conjunto MM “o” en el conjunto NN. El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universalUU, que cumplan la condición de estar en uno o en otro.
Tenemos en este caso: M∪N={a,c,b,g,e,1}.M∪N={a,c,b,g,e,1}.
Intersección de conjuntos
Diferencia de conjuntos
Diferencia simétrica de conjuntos
Complemento de un conjunto
Problemas que se pueden resolver con conjuntos
Observa la siguiente situación: en un salón de clases de 5050 niños y niñas, a 1010 les gusta solo el helado de fresa y a 55 solo el helado de chocolate. Si a 2020 niños no les gusta el helado ni de fresa ni de chocolate: ¿a cuántos niños les gustan los dos helados?, ¿a cuántos niños les gusta en total el helado de fresa?, ¿a cuántos el de chocolate?
¡Mira la solución, es más sencilla de lo que crees! Primero representaremos la situación con diagramas de Venn: llamaremos FF al conjunto de los estudiantes a los que les gusta el helado de fresa y CC al de conjunto de niños que gustan del helado de chocolate.
Una última pregunta: ¿a cuántos estudiantes les gusta el helado de fresa o el de chocolate?
Recuerda que la unión de conjuntos está conformada por los elementos que pertenecen a uno u otro, por lo tanto la respuesta es la cantidad de estudiantes de la unión F∪C.F∪C. Esto quiere decir que a 3030estudiantes les gusta el helado de fresa o el de chocolate.
¿Qué es un conunto?. (s/f). GCF Aprende Libre. Recuperado de https://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_conjuntos/entender_los_conjuntos/5.do