Anticipación:
- Necesitamos saber resolver cada una de las operaciones tanto en números decimales, fraccionarios y naturales.
- Necesitamos conocer los signos que identifican a cada operación.
- Necesitamos saber simplificar correctamente; y para ello todas las reglas de la divisibilidad.
- Tambien necesitamos saber que operación se debe resolver primero.
- Y por último necesitamos conocer los signos de agrupación.
- Los nombres de las operaciones son:
Adición = Suma → signo: + (más)
Sustracción = Resta = Diferencia → signo: − (menos, de… restar… de)
Multiplicación = Producto → signo: x · * (por, multiplicado entre)
División = Cociente → signo: ÷ : ⁄ — (dividido entre, para)
Signos de agrupación:
Los signos de agrupación como su nombre lo dice sirven para agrupar operaciones y/o cantidades; y se utilizan para separar unas operaciones de otras, y nos dicen cual debemos resolver primero, es decir se utilizan para ordenar los cálculos y fijar prioridades.
Los signos de agrupación se usan para cambiar el orden de las operaciones. Las operaciones indicadas dentro de ellos deben realizarse primero.
Son:
( ) parentesis
[ ] corchetes
{ } llaves
| | Barras
Los signos de agrupación definen el orden en el que se realizará la operación; un ejemplo es, las operaciones que están entre paréntesis son las que se realizaran primero, posteriormente las que se encuentran entre corchetes y por último las que se encuentran entre llaves, siempre que se encuentren en ese orden desde adentro hacia afuera en la expresión.
Si no existe signo entre el número y el signo de agrupación, significa que se tiene que realizar una multiplicación; igualmente si no existe ningún signo entre dos signos de agrupación, también es multiplicación.
Ejemplo:
{ [5·(24)+8] – (1) } + { (15) 2 }=
{ [120+8] – 1 } + { 10 }=
{ 128 – 1 } + { 10 }=
{ 127 } + { 10 }=
127 + 10=137
REGLA GENERAL PARA SUPRIMIR SIGNOS DE AGRUPACION:Los signos de agrupación se pueden suprimir cuando no se están multiplicando o dividiendo, es decir sólo cuando se están sumando o restando, por lo tanto tienen el signo + o – antes del signo de agrupación, y se usan las siguientes reglas para la supresión:1.- Para suprimir signos de agrupacion precedidos del signo + se deja con el mismo signo a cada uno de las cantidades que se hallan dentro de él. Ejemplo: 3 + (2 + 4 – 1) = 3 + 2 + 4 – 12.- Para suprimir signos de agrupacion precedidos del signo – se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.
Ejemplo: 5 – (4 + 3 – 2) = 5 – 4 – 3 + 2
Ejemplo:
a+(b-c)+2a–(a+b)
a + b – c + 2a – a – b
♥ Cuando hay varias operaciones sin signos de agrupación, se deben resolver en el siguiente orden:
- Primero se debe resolver todas las potencias y raices.
- En segundo lugar debemos resolver las multiplicaciones y divisiones.
- Y en último lugar las sumas y restas.
- Cuando tenemos signos de agrupación, se debe resolver primero las operaciones de los signos de agrupación.
| Resuelve las multiplicaciones y divisiones antes de las sumas y restas.Resuelve las multiplicaciones y divisiones “en el mismo nivel,” de izquierda a derecha.Resuelve las sumas y restas “en el mismo nivel,” de izquierda a derecha.Los paréntesis ( ) cambian el orden. Resuelve primero lo que está adentro de los paréntesis. |
Ejemplos de operaciones combinadas:
1. Sin paréntesis
1.1 Sumas y diferencias.
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.
= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7
1.2 Sumas, restas y productos.
3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =
Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Efectuamos en segundo lugar las sumas y restas.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
1.3 Sumas, restas , productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos en segundo lugar las sumas y restas.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
1.4 Sumas, restas , productos , divisiones y potencias.
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =
Seguimos en segundo lugar con los productos y cocientes.
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =
Efectuamos en tercer lugar las sumas y restas.
= 26
También se puede escribir división usando una línea de fracción (en nuestro ejemplo el slash sirve de línea de fracción). ejemplos:
a ) 6 + 24/2 = 6 + 12 = 18
b) 32/2 − 6 = 16 − 6 = 10
c) 54/6 − 6 − 2 = 27 − 6 − 2 = 19
En los siguientes ejercicios, realizamos primero la operación que está arriba de la línea de fracción, como si fuera escrita en paréntesis:
2. Con signos de agrupación
2.1 Con paréntesis
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)=
Realizamos en primer lugar las operaciones dentro de los parentesis.
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=
Quitamos paréntesis al realizar las operaciones y llegar al resultado.
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
Luego seguimos el orden de resolución antes mencionado.
2.2 Con paréntesis y corchetes
[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=
Operamos dentro de los paréntesis.
= 12 · 7 − 3 + 2
Multiplicamos.
= 84 − 3 + 2=
Restamos y sumamos.
= 83
3. Con fracciones
Para las fracciones y decimales se procede en el mismo orden de resolución que con números naturales; por ejemplo:
Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.
Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.
Realizamos el producto y lo simplificamos.
Realizamos las operaciones del paréntesis.
Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
4. Con fracciones y decimales:
Cuando tenemos ejercicios combinados con números fraccionarios y decimales, el primer paso sería transformarlos para que todos sean fraccionarios o decimales; ejemplo:
3/4 + 0,75 • 2/3 =
3/4 + 3/4 • 2/3 = 0,75 + 0,75 • 0,66…=
3/4 + 1/2 = 0,75 + 0,5 =
3/4 + 2/4 = 1,25
5/4
4. Problemas:
Todo problema puede ser planteado su resolución en forma de operación combinada.
Luego se les conoce a las operaciones combinadas como ecuaciones.
| Una ecuación tiene números, letras, signos de operación y un signo de igualdad “=”.Se llama una ecuación porque contiene un signo de igualdad.Una expresión sólo tiene números, letras, y signos de operación—pero no tienesigno de igualdad. Por ejemplo, “40 × 2 + 6 × 5” es una expresión. |
Ejemplos:
a) Marco compró tres bombillos por $8 cada uno, y pagó con $50. ¿Cuánto vuelto recibió?
$ 50 – 3 x $ 8 =
50 – 24 =
$ 26
b) Andrés y su amigo compran una ensalada por $8 y una pizza por $13, y comparten el costo por igual. ¿Cuánto paga Andrés por su parte?
($ 8 + $ 13) ÷ 2 =
($ 21) ÷ 2 =
$ 10,50
c) Melisa comparte igualmente con tres vecinos el costo de un cerramiento nuevo. Comparte el costo de arreglar el camino con dos otros vecinos. El cerramiento costó $600 y el arreglo costó $1200. ¿Cuánto paga Melisa?
$ 600 ÷ 3 + $ 1200 ÷ 2 =
$ 200 + $ 600 =
$ 800
d) Una niña debe a un amigo 12 dólares. Para saldar la deuda le da 10 monedas de 25 centavos y 4 lápices de 2 dólares cada uno. ¿Queda saldada la deuda?
12 – (10 x 0,25 + 4 x 2) =
12 – ( 2,5 + 8) =
12 – 10,5 =
1,5
e) Un comerciante de madera compra doce árboles a $ 250 cada uno; paga 180 dólares por hacerlos talar, el transportarlos hasta el almacén le cuesta $ 85. ¿A qué precio le resultó cada árbol?
( 12 • $ 250 + $ 180 + $ 85 ) ÷ 12 =
( $ 3000 + $ 180 + $ 85 ) ÷ 12 =
$ 3265 ÷ 12 =
$ 272,08
f) Un tren ha recorrido 480 km en 6 horas, ¿Cuántos km ha recorrido en una hora?, ¿Cuánto tardará en recorrer 240 km?
480 km ÷ 6 h =
80 km por cada hora
240 km ÷ 80 km/h =
3 horas
♥ Otros ejercicios para que usted los realice:
Coloca paréntesis en las siguientes ecuaciones para hacerlas verdaderas:
a. 10 + 40 + 40 × 2 = 180
b. 144 = 3 × 2 + 4 × 8
c. 40 × 3 = 80 − 50 × 4
Halla un número para el lugar vacío, para que la ecuación sea verdadera:
a. 40 = ( … + 9) × 2
b. 4 × 8 = 5 × 6 + …
c. 4 + 5 = (20 − … ) ÷ 2
d. 81 = 9 × ( 2 + … )
e. …× 11 = 12 + 20 × 6
f. (4 + 5) × 3 = … ÷ 2
Construye por lo menos tres ecuaciones verdaderas usando (sólo) los signos y números que se dan a continuación. Puedes usar el mismo número o signo muchas veces:
11, 3, 1, −, +, ×, ( ), =
Matelucia (2012, 27 de junio). 2.5 Operaciones combinadas. Recuperado de https://matelucia.wordpress.com/2-1-orden-de-fracciones-decimales-y-naturales/operaciones-combinadas