Unidad 1 – Tele estudio

Tema 3: Matriz inversa

Definición de la matriz inversa

El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.

$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A= I$ Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: El método de Gauss y el método por cálculo de determinantes.

1 $(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$

2 $(A^{-1})^{-1}=A$

3 $(k\cdot A)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$

4 $(A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}$

Cálculo por determinantes

El cálculo de una matriz inversa por determinantes se basa en el siguiente resultado

$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot (A^{*})^t$ donde

$\begin{align*} A^{-1}\hspace{1cm} & \text{Matriz inversa}\\ |A| \hspace{1cm}& \text{Determinante de la matriz}\\ A^{*} \hspace{1cm} &\text{Matriz adjunta}\\ (A^{*})^t \hspace{1cm} &\text{Matriz traspuesta de la adjunta} \end{align*}$

Para entender el procedimiento, comenzaremos con un ejemplo:

$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3& 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

1 Calculamos el determinante de la matriz.

En el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

$|A|=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3& 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}=3$

2 Hallamos la matriz adjunta

Es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

$A^{*}=\begin{pmatrix} \ \ \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & 0\\ 5 & 1 \end{vmatrix} & \ \ \begin{vmatrix} 3 & 0\\ 5 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 1& 1 \end{vmatrix} &\ \ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 5 &1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 &0 \\ 5 &1 \end{vmatrix}\\ \ \ \begin{vmatrix} 0&1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2&1 \\ 3&0 \end{vmatrix} &\ \ \begin{vmatrix} 2& 0\\ 3 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &-3 &3 \\ 1 &-3 &-2 \\ 0& 3& 0 \end{pmatrix}$

3 Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

$(A^*)^t=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -3 & -3 & 3\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

4 La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -3 & -3 & 3\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \end{pmatrix}$