Unidad 1 – Tele estudio

por | agosto 28, 2020

Tema 3: Función biyectiva y función inversa

FUNCIÓN INVERSA

Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). La función inversa (o función recíproca) de f (denotada por f-1) es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X.

Dibujo de una función inversa.

Formalmente, diremos que f-1 es la inversa de f si:

Fórmula de la definición de una función inversa.

También podemos definir una función inversa a partir de la composición de funcionesf-1 es la inversa de f y f-1 si la composición de f da la función identidad.

Fórmula de la definición de una función inversa a través de la composición de funciones.

Para que una función f tenga inversa necesariamente debe ser inyectiva.

Además, tanto f como f-1 deben de ser biyectivas.

Propiedades

  • Las gráficas de una función f y su inversa f-1 son simétricas respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante.
    Dibujo de la simetría entre una función y su inversa.

    Entonces, si un punto (a , b) pertenece a la función f, el punto (b , a) pertenecerá a la su inversa f-1.

  • El dominio de f-1 es el recorrido de f.
  • El recorrido de f-1 es el dominio de f.
  • La inversa de la función inversa es la propia función:
    Fórmula de la función inversa de la inversa de una función.
  • La inversa de la composición de las funciones f y g (g o f) es:
    Fórmula de la función inversa de la función compuesta.

Método para el cálculo de la función inversa

Tenemos la función y = f(x), realizamos los siguientes pasos:

  1. Se despeja la variable x en función de la y. Por ejemplo:
    Ejemplo de como despejar x en el método del cálculo de una función inversa.
  2. Se intercambian las variables x e y y la función resultado será la función inversa. Por ejemplo:
    Ejemplo de intercambiar las variables en el método del cálculo de una función inversa.

Ejercicio

Encontrar la inversa de la función y = f(x) = 2x-2.

  1. Despejamos la variable x en función de la y. Por ejemplo:
    Cálculo de como despejar x en un ejemplo del método del cálculo de una función inversa.
  2. Intercambiamos las variables x e y y la función resultado será la función inversa:
    Cálculo de la función inversa en un ejemplo del método del cálculo de ésta.
Gráfico de un ejemplo de una función inversa.

Como podemos ver en la gráfica, f y su inversa son simétricas respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante.