Tema 12: Medidas de dispersión: Desviación estándar.

Calcular la desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación típica se representa por $\sigma$ .

$\sigma =\sqrt{\cfrac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{N}}$

$\sigma =\sqrt{\cfrac{\displaystyle\sum_{1=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{N}}$

Ejemplo

Calcular la desviación típica de la distribución:

$9,3,8,8,9,8,9,18$

Calculamos la media aritmética

$\bar{x}=\cfrac{9+3+8+8+9+8+9+18}{8}=9$

Sustituimos en la fórmula de la desviación típica

$\sigma =\sqrt{\cfrac{(9-9)^{2}+(3-9)^{2}+(8-9)^{2}+(8-9)^{2}+(9-9)^{2}+(8-9)^{2}+(9-9)^{2}+(18-9)^{2}}{8}}$
$\sigma =3,87$

Desviación típica para datos agrupados

$\sigma =\sqrt{\cfrac{(x_{1}-\bar{x})^{2}\cdot f_{1}+(x_{2}-\bar{x})^{2}\cdot f_{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}\cdot f_{n}}{N}}$

$\sigma =\sqrt{\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}\cdot f_{i}}{N}}$

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

$\sigma =\sqrt{\cfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}{N}-\bar{x}^{2}}$

$\sigma =\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\cfrac{x_{i}^{2}}{N}-\bar{x}^{2} }$

$\sigma =\sqrt{\cfrac{x_{1}^{2}\cdot f_{1}+x_{2}^{2}\cdot f_{2}+...+x_{n}^{2}\cdot f_{n}}{N}-\bar{x}^{2}}$

$\sigma =\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\cfrac{x_{i}^{2}\cdot f_{i}}{N}-\bar{x}^{2} }$

Ejemplo

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

	$x_{i}$	$f_{i}$	$x_{i}\cdot f_{i}$	$x_{i}^{2}\cdot f_{i}$
$[10,20)$	$15$	$1$	$15$	$225$
$[20,30)$	$25$	$8$	$200$	$5.000$
$[30,40)$	$35$	$10$	$350$	$12.250$
$[40,50)$	$45$	$9$	$405$	$18.225$
$[50,60)$	$55$	$8$	$440$	$24.200$
$[60,70)$	$65$	$4$	$260$	$16.900$
$[70,80)$	$75$	$2$	$150$	$11.250$
		$42$	$1.820$	$88.050$

Hemos añadido la columna $x_{i}\cdot f_{i}$ porque queremos hallar su sumatoria $(1.820)$ , que después dividiremos por $N\; (42)$ para obtener la media

$\bar{x}=\cfrac{1.820}{42}=43,33$

Hemos añadido la columna $x_{i}^{2}\cdot f_{i}$ porque queremos hallar su sumatoria $(88.050)$ , que después dividiremos por $N\; (42)$ y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado $(43,33^{2})$ , y por último haremos la raíz cuadrada del resultado obtenido

$\sigma =\sqrt{\cfrac{88.050}{42}-43,33^{2}}=14,797$

Propiedades de la desviación típica

1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

$\sigma =\sqrt{\cfrac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+...+\sigma_{n}^{2}}{n}}$

Si las muestras tienen distinto tamaño:

$\sigma =\sqrt{\cfrac{k_{1}\cdot \sigma_{1}^{2}+k_{2}\cdot\sigma_{2}^{2}+...+k_{n}\cdot\sigma_{n}^{2}}{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}}}$

Observaciones sobre la desviación típica

1 La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.

3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.