Unidad 3 – Tele estudio

Tema 4: Potenciación de números racionales con exponentes enteros.

Potenciación de números racionales

Propiedades de potencias de racionales

1 Potencia de un número racional
En una fracción elevado a un exponente, este último se distribuye como exponente del numerador y denominador.

\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}

2 Potencia de exponente negativo
Un número racional elevado a un exponente negativo se intercambian numerador con denominador y el exponente cambia de signo.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}=\left(\frac{3}{2}\right)^4=\frac{81}{16}

3 Potencia de -1
Un número racional elevado al exponente -1, se intercambian numerador con denominador

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\left(\frac{b}{a}\right)

Ejemplo:

\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}=\left(\frac{3}{2}\right)

Leyes de los exponentes en racionales

Las leyes de los exponentes se aplican para todos los números reales, por lo tanto, también son ciertas para los racionales.
1 Potencia de 0

Un número racional elevado a 0 es igual a la unidad.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^0=1

2Potencia de 1

Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^1=\frac{a}{b}

3Producto de potencias

3.1 Potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n\cdot \left(\frac{a}{b}\right)^m=\left(\frac{a}{b}\right)^{n+m}

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^{2+3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{5}=\frac{2^5}{3^5}=\frac{32}{243}

3.2 Potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n\cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n=\left(\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\right)^{n}

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{3}{5}\right)^3\cdot \left(\frac{2}{7}\right)^3=\left(\frac{6}{35}\right)^{3}

4Cociente de potencias

4.1 Potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n : \left(\frac{a}{b}\right)^m=\left(\frac{a}{b}\right)^{n-m}

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^7 : \left(\frac{2}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^{7-3}=\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}

4.2 Potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n : \left(\frac{c}{d}\right)^n=\left(\frac{a\cdot d}{b\cdot c}\right)^{n}

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{3}{5}\right)^3 : \left(\frac{2}{7}\right)^3=\left(\frac{21}{10}\right)^{3}

5Potencia de una potencia

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

\displaystyle\left[\left(\frac{a}{b}\right)^n\right]^m =\left(\frac{a}{b}\right)^{n\cdot m}

Ejemplo:

\displaystyle\left[\left(\frac{1}{2}\right)^3\right]^2 =\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=\frac{1^{6}}{2^{6}}=\frac{1}{64}