Tema 2: Aplicaciones de primera y segunda derivada.
Extremos relativos. Criterios de la 1ra y 2da derivada
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PRIMERA DERIVADA: Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c. Teorema Valor máximo y Mínimo “Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto b que contiene a c. TEOREMA Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue. 1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c , f(c) ). 2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c ,f(c) ). 3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.
EJERCICIOS: Hallar sus extremos locales. Dada la ecuación:  Desarrollamos la primera derivada en, y para determinar los puntos críticos igualemos a cero.  
Para los valores máximos y mínimos se evalúa en la función original, reemplazando los puntos críticos.
Ø El valor máximo local es en el extremo de: Ø El valor mínimo locas es en el extremo de:
2) Dada la función, hallar sus extremos locales  Ø En x=3, hay un mínimo local, que es y=0 Ø En x=1, hay un máximo local, que es y=16
SEGUNDA DERIVADA: se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0, f'(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c , y f'(c)= 0 debe ser un máximo relativo de f . Teorema Sea f una función tal que f'(c)= 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c 1. TEOREMA Si f”(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)). Si f”(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c) ). Si f”(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c , f'(c) ) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.
EJERCICIOS: 1) Trace una gráfica de una función y= f(x) que tenga las siguientes características. Su gráfica pasa por los puntos:   2) Dada la ecuación, grafique la siguiente función. Continuando con el primer ejercicio de la primera deriva.  Primera derivada:
 Puntos críticos de la 1° derivada:  Los puntos críticos: x = 0 v x = -2 Segunda derivada:  Determinando los puntos críticos:
f” (x) = 0 6x + 6 = 0
El punto crítico es: x = – 1 OBSERVACIÓN:
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