Ordenación de los números reales

En el conjunto R tenemos definida una relación de orden que denotamos < intuitivamente, si a y b son dos números reales, escribiremos a<b si al dibujarlos sobre la recta real, el punto a queda a la izquierda del punto b. Diremos entonces que a es más pequeño que b.

Se suele utilizar a≤b para indicar que el número a es más pequeño o igual a b. También se dice que ≤ es símbolo de desigualdad y que < lo es de desigualdad estricta.

Se dice que esta relación es de orden total R: es decir, dados dos números reales distintos a y b, siempre se tiene a<b o bien b<a. O dicho de otra forma, a y b son siempre comparables.

Propiedades de la ordenación

Las operaciones con números reales y la ordenación de estos están relacionados por las siguientes propiedades:

• Monotonía de la suma: una desigualdad no se altera al sumar la misma cantidad en ambos miembros, es decir, sia<bentonces para cualquier número real c, se cumple que:a+c<b+cTambién vale si la desigualdad no es estricta: a≤b⇒a+c≤b+c.
• Monotonía del producto por un número positivo: una desigualdad no se altera si multiplicamos a los dos miembros por un mismo número positivo, es decir, si a<b y c es un número real positivo (c>0), se cumple:a⋅c<b⋅cTambién vale si la desigualdad no es estricta: a≤b y c≥0⇒a⋅c≤b⋅c.
• Antimonotonía del producto por números negativos: toda desigualdad se altera si multiplicamos a los dos miembros por un mismo número negativo, es decir, si a<b y c es un número real negativo (c<0), se cumple:a⋅c>b⋅cTambién vale si la desigualdad no es estricta: a≤b y c≤0⇒a⋅c≥b⋅c.

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