Tema 6: Intervalos de números reales
Intervalo
Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos.
Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.
Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos.
Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.
Sean a y b dos números reales tales que a < b.
Intervalo cerrado
Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos.
[a, b] = { x / a £ x £ b}
Intervalo abierto
Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.
(a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha)
Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b.
(a, b] = {x / a < x £ b}
Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda)
Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b.
[a, b) = { x / a £ x < b}
Intervalos infinitos
[a, +¥) = { x / x ³ a} (a, +¥) = { x / x > a}
(–¥ , b] = { x / x £ b} (–¥ , b) = { x / x < b}
(–¥ , +¥ ) = R
Ejemplo. Interprete gráficamente los intervalos: a) [–2, 3] b) (1, 4) c) (0, 5] d) [1, +¥ ) e) (–¥ , 3)
a) El intervalo [–2, 3] comprende todos los números reales entre –2 y 3. Como es cerrado incluye los extremos. Su representación gráfica es:
b) El intervalo (1, 4) corresponde a todos los números reales entre 1 y 4. Es abierto pues no incluye a los extremos. Gráficamente:
c) El intervalo (0, 5] comprende todos los números reales entre 0 y 5 incluyendo el extremo 5. Se trata de un intervalo semiabierto a izquierda o bien semicerrado a derecha. Su gráfica es:
d) El intervalo [1, +¥ ) es infinito y comprende todos los números reales mayores o iguales a 1. Gráficamente:
e) El intervalo (–¥, 3) es infinito y comprende todos los números reales menores que 3. Su gráfica es:
A modo de resumen:
| Nombre del intervalo | Notación conjuntista | Notación de intervalos | Representación gráfica |
| Abierto | {x / a < x < b} | (a, b) |  |
| Semicerrado a derecha | {x / a < x £ b} | (a, b] |  |
| Semicerrado a izquierda | { x / a £ x < b} | [a, b) |  |
| Cerrado |
{ x / a £ x £ b} |
[a, b] |  |
| Infinito abierto a izquierda | { x / x > a} | (a, +¥ ) |  |
| Infinito cerrado a izquierda | { x / x ³ a} | [a, +¥ ) |  |
| Infinito abierto a derecha | { x / x < b} | (–¥ , b) |  |
|
Infinito cerrado a derecha |
{ x / x £ b} | (–¥ , b] |  |
| Infinito | R | (–¥ , +¥ ) |  |
| En este momento está en condiciones de resolver algunos ejercicios para verificar sus conocimientos. |