Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). La función inversa (o función recíproca) de f (denotada por f^-1) es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X.

Formalmente, diremos que f^-1 es la inversa de f si:

También podemos definir una función inversa a partir de la composición de funciones. f^-1 es la inversa de f y f^-1 si la composición de f da la función identidad.

Para que una función f tenga inversa necesariamente debe ser inyectiva.

Además, tanto f como f^-1 deben de ser biyectivas.

Propiedades

• Las gráficas de una función f y su inversa f^-1 son simétricas respecto a la bisectriz del 1^er y 3^er cuadrante.
  

  Entonces, si un punto (a , b) pertenece a la función f, el punto (b , a) pertenecerá a la su inversa f^-1.

• El dominio de f^-1 es el recorrido de f.
• El recorrido de f^-1 es el dominio de f.
• La inversa de la función inversa es la propia función:
  
• La inversa de la composición de las funciones f y g (g o f) es:
  

Método para el cálculo de la función inversa

Tenemos la función y = f(x), realizamos los siguientes pasos:

1. Se despeja la variable x en función de la y. Por ejemplo:
   
2. Se intercambian las variables x e y y la función resultado será la función inversa. Por ejemplo:
   

Ejercicio

Encontrar la inversa de la función y = f(x) = 2x-2.

1. Despejamos la variable x en función de la y. Por ejemplo:
   
2. Intercambiamos las variables x e y y la función resultado será la función inversa:
   

Como podemos ver en la gráfica, f y su inversa son simétricas respecto a la bisectriz del 1^er y 3^er cuadrante.