Tema 3: Función biyectiva y función inversa

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función biyectiva es una función f que es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).

Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial X.

Formalmente, una función f es biyectiva si:

Fórmula de la condición de una función biyectiva.

Ejercicio 1

Sea la función f(x) = 2x definida en los números reales. Esta función es biyectiva.

Gráfica de una función que si que es biyectiva.

Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad:

Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.

Demostración de la condición de sobreyectividad en un ejemplo de función biyectiva.

La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.

Ejercicio 2

En este segundo ejemplo, sea la función f(x) = x²-1. Esta función no es biyectiva.

Gráfica de una función que no es biyectiva.

En la gráfica ya podemos observar como la función es igual en x = -2 y en x = 2, por lo tanto la función no puede ser inyectiva. Para verlo formalmente, veamos que no se cumple la condición de inyectividad:

Demostración de que no se cumple la condición de inyectividad en un ejemplo de función no biyectiva.

Como x y y pueden ser diferentes, ya que x y –x tienen la misma imagen, f no es inyectiva. Por lo tanto, f no es biyectiva.

Propiedad

Si f es una función biyectiva, entonces su función inversa f^-1 también es biyectiva.