Unidad 3 – Tele estudio

por | diciembre 11, 2020
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Tema 4: Radicales equivalentes. Racionalización.

Racionalización de radicales

¿Qué es la racionalización de radicales?

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos:

Caso 1

\cfrac{a}{b\sqrt{c}}

Racionalización del tipo 

\sqrt{c}}

Se multiplica el numerador y el denominador por  .

\cfrac{a}{b\sqrt{c}}=\cfrac{a\cdot \sqrt{c}}{b\sqrt{c}\cdot \sqrt{c}}=\cfrac{a\cdot \sqrt{c}}{b\left ( \sqrt{c}\, \right )^{2}}=\cfrac{a\cdot \sqrt{c}}{b\cdot c}

Ejemplos

\cfrac{2}{3\sqrt{2}}

1 Racionalizarla expresión

Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2, realizamos los cálculos y simplificamos la fracción

\cfrac{2}{3\sqrt{2}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{2}}{3\left ( \sqrt{2}\, \right )^{2}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{2}}{3\cdot 2}=\cfrac{\sqrt{2}}{3}
\sqrt{2}+\cfrac{1}{\sqrt{2}}

2 Racionalizar la expresión 

Para poder realizar la suma racionalizamos el 2º sumando multiplicando y dividiendo por raíz de 2, y realizamos la suma

\sqrt{2}+\cfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\sqrt{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}\, )^{2}}
=\sqrt{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}=\left ( 1+\cfrac{1}{2} \right )\sqrt{2}=\cfrac{3}{2}\, \sqrt{2}

Caso 2

\cfrac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}

Racionalización del tipo 

\sqrt[n]{c^{n-m}}

Se multiplica numerador y denominador por .

\cfrac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}=\cfrac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot \sqrt[n]{c^{m}}\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}=\cfrac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot \sqrt[n]{c^{m}\cdot c^{n-m}}}=\cfrac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot \sqrt[n]{c^{n}}}=\cfrac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot c}

Ejemplo

\cfrac{2}{3\sqrt[5]{4}}

Racionalizar la expresión 

4
2^{2}

El radicando  lo ponemos en forma de potencia: 

2^{5-2}=2^{3}

Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de 

Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción

\cfrac{2}{3\sqrt[5]{4}}=\cfrac{2}{3\sqrt[5]{2^{2}}}=\cfrac{2\cdot \sqrt[5]{c^{3}}}{3\cdot \sqrt[5]{2^{2}}\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}=\cfrac{2\cdot \sqrt[5]{8}}{3\cdot \sqrt[5]{2^{5}}}=\cfrac{2\cdot \sqrt[5]{8}}{3\cdot 2}=\cfrac{\sqrt[5]{8}}{3}

Caso 3

\cfrac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}

Racionalización del tipo 

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

\begin{matrix} a+b & \rightarrow & a-b \\ \\ -a+b & \rightarrow & -a-b\\ \\ a-b & \rightarrow & a+b\\ \\ -a-b & \rightarrow & -a+b \end{matrix}

También tenemos que tener en cuenta que: “suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados“.

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

Ejemplos

\cfrac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}

1 Racionalizar la expresión 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

\cfrac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\cfrac{2\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\cfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{(\sqrt{2}\, )^{2}-(\sqrt{3}\, )^{2}}
-1

En el denominador extraemos los radicandos y dividimos por , es decir, cambiamos el numerador de signo

=\cfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2-3}=\cfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{-1}=-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}
\cfrac{2}{4-2\sqrt{2}}

2 Racionalizar la expresión 

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

\cfrac{2}{4-2\sqrt{2}}=\cfrac{2\cdot (4+2\sqrt{2})}{(4-2\sqrt{2})\cdot (4+2\sqrt{2})}
2

Efectuamos la suma por diferencia en el denominador, realizamos las operaciones y simplificamos la fracción dividiendo por 

=\cfrac{2\cdot (4+2\sqrt{2})}{4^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=\cfrac{2\cdot (4+2\sqrt{2})}{16-4\cdot 2}=\cfrac{2\cdot (4+2\sqrt{2})}{8}=\cfrac{4+2\sqrt{2}}{4}=\cfrac{2+\sqrt{2}}{2}
\cfrac{2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{6}}

3 Racionalizar la expresión 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

\cfrac{2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{6}}=\cfrac{2\sqrt{2}\cdot (5+2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})\cdot (5+2\sqrt{6})}=\cfrac{10\sqrt{2}+4\sqrt{12}}{5^{2}-(2\sqrt{6})^{2}}
12

En el numerador descomponemos en factores al  y extraemos factores, terminamos realizando las operaciones del denominador

=\cfrac{10\sqrt{2}+4\sqrt{2^{2}\cdot 3}}{25-4\cdot 6}=\cfrac{10\sqrt{2}+8\sqrt{3}}{25-24}=10\sqrt{2}+8\sqrt{3}

Ejemplos de ejercicios de racionalización radicales

\cfrac{5}{2\sqrt{2}}=\cfrac{5\cdot 2\sqrt{2}}{2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\cfrac{5\cdot \sqrt{2}}{2\cdot \sqrt{2^{2}}}=\cfrac{5\cdot \sqrt{2}}{4}

1 

\cfrac{1}{\sqrt[3]{3}}=\cfrac{\sqrt[3]{3^{2}}}{\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3^{2}}}=\cfrac{\sqrt[3]{3^{2}}}{\sqrt[3]{3^{3}}}=\cfrac{\sqrt[3]{9}}{3}

2 

\cfrac{2}{3+\sqrt{3}}=\cfrac{2}{3+\sqrt{3}}=\cfrac{2\cdot (3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})\cdot (3-\sqrt{3})}

3 

=\cfrac{6-2\sqrt{3}}{3^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\cfrac{6-2\sqrt{3}}{9-3}=\cfrac{6-2\sqrt{3}}{6}=\cfrac{3-\sqrt{3}}{3}
\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\cfrac{\sqrt{2}\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})}

4 

=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2^{2}}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\cfrac{2+\sqrt{6}}{3-2}=2+\sqrt{6}
\cfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\cfrac{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})\cdot (3\sqrt{2}-2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})\cdot (3\sqrt{2}-2\sqrt{3})}=\cfrac{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^{2}}{(3\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}

5 

=\cfrac{(3\sqrt{2})^{2}-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^{2}}{(3\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}
=\cfrac{9\cdot 2-12\sqrt{6}+4\cdot 3}{9\cdot 2-4\cdot 3}=\cfrac{18-12\sqrt{6}+12}{18-12}=\cfrac{30-12\sqrt{6}}{6}=5-2\sqrt{6}