Tema 1: Multiplicación de números racionales. Propiedades.

Multiplicación de números racionales

Pasos para multiplicar números racionales

1 Obtenemos el numerador por el producto de los numeradores.

2 Obtenemos el denominador por el producto de los denominadores.

Ejemplo:

$\cfrac{5}{4}\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{24}$

Propiedades de la multiplicación de números racionales

Interna

El resultado de multiplicar dos números racionales es otro número racional.

$a\cdot b\; \epsilon \; \mathbb{Q}$

Propiedad asociativa

El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Ejemplo:

$\left ( \cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{3}{4} \right )\cdot \cfrac{1}{5}=\cfrac{1}{2}\cdot \left ( \cfrac{3}{4}\cdot \cfrac{1}{5} \right )$

$\cfrac{3}{8}\cdot \cfrac{1}{5}=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{3}{20}$

$\cfrac{3}{40}=\cfrac{3}{40}$

Propiedad conmutativa

El orden de los factores no varía el producto.

$a\cdot b=b\cdot a$

Ejemplo

$\cfrac{3}{8}\cdot \cfrac{1}{5}=\cfrac{1}{5}\cdot \cfrac{3}{8}$

$\cfrac{3}{40}=\cfrac{3}{40}$

Elemento neutro

El $1$ es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

$a\cdot 1=a$

Ejemplo

$\cfrac{3}{8}\cdot 1=\cfrac{3}{8}$

Elemento inverso

Un número es inverso de otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

$a\cdot \cfrac{1}{a}=1$

Ejemplo

$5\cdot \cfrac{1}{5}=1$

Propiedad distributiva

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Ejemplo

$\cfrac{1}{2}\cdot \left ( \cfrac{1}{4}+\cfrac{3}{2} \right )=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{3}{2}$

$\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{7}{4}=\cfrac{1}{8}+\cfrac{3}{4}$

$\cfrac{7}{8}=\cfrac{7}{8}$

Sacar factor común

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

$a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)$

Ejemplo

$\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{3}{2}=\cfrac{1}{2}\cdot \left ( \cfrac{1}{4}+\cfrac{3}{2} \right )$

División de números racionales

La división de dos números racionales es otro número racional que tiene:

Por numerador el producto de los extremos.

Por denominador el producto de los medios.

$\cfrac{5}{7}\div \cfrac{1}{6}=\cfrac{30}{7}$

También podemos definir la división de dos números racionales como producto del primero por el inverso del segundo.

$\cfrac{5}{7}\div \cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{7}\cdot \cfrac{6}{1}=\cfrac{30}{7}$