Tema 3: Problemas de optimización. Aplicación de máximos y mínimos
Problemas de optimización
Resolvemos problemas de optimizar funciones mediante cálculo diferencial básico (regla de la primera derivada). Lo más importante es plantear la función que hay que optimizar.
Introducción y ejemplo
El criterio de la primera derivada proporciona la monotonía de una función f derivable en un intervalo I=(a,b):
- f es creciente en I si f′(x)>0 para todo x∈I
- f es decreciente en I si f′(x)<0 para todo x∈I
Como consecuencia, los puntos que anulan la primera derivada (llamados puntos críticos) son candidatos a ser extremos relativos.
Por tanto, para resolver los problemas tenemos que
- Platear la función f(x)
- Calcular la derivada f′(x)
- Calcular los puntos críticos (soluciones de f′(x)=0)
- Determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos a partir de la monotonía
También, se puede aplicar el criterio de la segunda derivada para el paso 4.
Ejemplo
El coste de fabricación de una bolsa hermética de plástico viene dado por la función
siendo x>0 el volumen de la bolsa (en litros).
¿Cuál debe ser el volumen de la bolsa para que su coste sea mínimo? ¿Cuál es dicho coste?
Derivamos la función:
Igualamos la derivada a 0 y resolvemos:
El único punto crítico que tenemos es x=5 (descartamos el negativo porque x debe ser positiva).
El signo de la derivada se mantiene constante en los intervalos
Evaluamos la derivada en cualquier punto de cada intervalo:
Por tanto, la función es decreciente el primer intervalo y creciente en el segundo. Esto implica que el punto crítico es un mínimo de la función.
El volumen debe ser 5 litros para que el coste sea mínimo.
Calculamos el coste:
Gráfica de la función (para x>0):
Problemas resueltos
Problema 1
Disponemos de una barra de aluminio de 6 metros para construir una portería de fútbol. Si queremos que el área de la portería sea máxima, ¿cuánto deben medir los postes y el larguero?
Sean x la longitud del larguero e y la de los postes:
La suma de las tres barras debe ser 6:
De donde podemos obtener y en función de x:
El área de la portería es
Derivamos la función:
El único punto crítico es x=3.
La derivada es positiva para x<3 y negativa para x>3. Por tanto, x=3 es un máximo de la función área.
Calculamos la longitud de los postes:
Por tanto, el larguero debe medir 3 metros y los postes, 1.5 metros.
Gráfica de la función:
Problema 2
Hallar dos números x,y∈]0,5[ cuya suma sea 5 de modo que la diferencia x−1/y sea máxima.
Como suman 5,
La función a maximizar es
Calculamos la derivada:
Operamos en la derivada:
La derivada se anula cuando el numerador es 0. Por tanto, tenemos que resolver una ecuación de segundo grado:
Tenemos dos puntos críticos, pero nos interesa el que es menor que 5.
Estudiamos la monotonía en los siguientes intervalos (no olvidéis que x debe ser menor que 5):
Evaluamos la derivada en un punto de cada intervalo:
Atendiendo a la monotonía de la función, deducimos que hay un máximo en x=4.
Calculamos y:
Por tanto, son los números 4 y 1.
Gráfica de la función:
